Cara Menghitung Permutasi dan Kombinasi

Notasi Angka Faktorial
Notasi angka n faktorial dilambangkan dengan n! menyatakan bilangan perkalian n x (n-1) x (n-2) x (n-2) xx 1, Contohnya 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5.040. Notasi ini digunakan dalam perhitungan permutasi dan kombinasi. Didefinisikan 0! = 1.

Permutasi dan kombinasi

Pengertian Permutasi
Yang dimaksud permutasi adalah banyaknya cara untuk membuat susunan dengan jumlah anggota tertentu dari anggota-anggota suatu himpunan.

Rumus Permutasi
Misalkan diketahui himpunan memiliki anggota sejumlah n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi r dari n, ditulis sebagai P(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.

Rumus permutasi

Jika r = n, maka P(n,n) = n!    (ingat 0!=1)

Contoh untuk menghitung banyaknya cara menyusun urutan dua huruf dari huruf-huruf a, b, c adalah sebagai berikut.

Permutasi 2 dari 3
Keenam cara tersebuat adalah: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Rumus Permutasi Jika terdapat Anggota yang Sama
Misalkan diketahui suatu himpunan memiliki anggota sejumlah n, dimana terdapat n1 anggota jenis 1 yang sama, n2 anggota jenis 2 yang sama, dst  maka permutasi anggota-anggota himpunan tersebut ditulis sebagai P(n;n1,n2,…,nk). Rumus permutasi jika terdapat n1 anggota jenis 1 yang sama, n2 anggota jenis 2 yang sama, dst adalah sebagai berikut.

Rumus permutasi ada anggota yang sama

Contoh untuk menghitung banyaknya cara menyusun urutan huruf-huruf dari kata “KATAKKU” adalah sebagai berikut.

Huruf K ada 3 maka n1 = 3
Huruf A ada 2 maka n2 = 2
Huruf T ada 1 maka n3 = 1
Huruf U ada 1 maka n4 = 1

Permutasi ada anggota yang sama

Pengertian Kombinasi
Yang dimaksud kombinasi adalah banyaknya cara memilih anggota dalam jumlah tertentu dari dari anggota-anggota suatu himpunan. Atau dengan kata lain kombinasi adalah banyaknya cara membuat himpunan bagian  dengan jumlah anggota tertentu dari anggota-anggota suatu himpunan.

Rumus Kombinasi
Misalkan diketahui himpunan memiliki anggota sejumlah n, maka pemilihan r buah anggota dinamakan kombinasi r dari n, ditulis sebagai C(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

Rumus kombinasi

Contoh untuk menghitung banyaknya cara memilih dua huruf dari huruf-huruf a, b, c adalah sebagai berikut.

Kombinasi 2 dari 3
Ketiga cara tersebuat adalah: ab, ac, bc.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah permutasi memperhatikan urutan susunan anggota sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan susunan anggota. Hal ini dapat dilihat dari kedua contoh diatas, yaitu permutasi dan kombinasi dari 2 anggota dari himpunan yang terdiri dari huruf a, b, dan c.
P(3,2) = 6 Keenam cara tersebuat adalah: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
C(3,2) = 3 Ketiga cara tersebuat adalah: ab, ac, bc.

Contoh Cara Menghitung Permutasi dan Kombinasi
Berikut ini beberapa contoh cara menghitung permutasi dan kombinasi.

Contoh Soal 1
Soal: 3 orang anak akan duduk bersama di sebuah bangku panjang. Ada berapa cara mereka duduk bersama di bangku tersebut?
Jawab:
Ketiga anak akan duduk bersama, maka digunakan rumus permutasi P(3,3)
P(3,3) = 3! = 2x2x1 = 6
Jadi ketiga anak tersebut dapat duduk bersama dengan 6 cara

Contoh Soal 2
Soal: Ada berapa cara menyusun dua huruf dari kata “HIDUP”?
Jawab:
Cara menyusun 2 huruf dari 5 huruf, maka digunakan permutasi P(5,2)
P(5,2) = (5!)/(5-2)! =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20
Jadi cara menyusun  dua huruf dari kata HIDUP ada 20 cara

Contoh Soal 3
Soal: Ada berapa cara memasang 5 umbul-umbul sepanjang suatu gang yang terdiri dari 2 umbul-umbul merah dan 3 umbul-umbul kuning?
Jawab:
Jumlah umbul umbul-umbul = 5 (2 merah dan 3 kuning), maka digunakan permutasi ada anggota yang sama P(5;2,3)
P(5;2,3) = (5!)/(2! 3!) = (5×4)/(2×1) = 10
Jadi cara memasang umbul-umbul ada 10 cara

Contoh Soal 4
Soal: Dalam suatu pertemuan yang dihadiri 12 peserta. Masing-masing peserta saling berjabat tangan. Ada berapa jumlah jabatan tangan antara mereka?
Jawab:
Setiap jabatan tangan hanya melibatkan 2 orang, maka digunakan kombinasi C(12,2)
C(12,2) = (12!)/(2!(12-2)!) = (12x11x10!)/(2x1x10!) = 66

Leave A Reply

Alamat surel Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *