Rumus Interpolasi Linear

Grafik linear

Saat membaca data dari suatu kumpulan data misalnya tabel data, kita kadang tidak menemukan data persis yang kita inginkan. Dalam hal ini kita mungkin perlu melakukan interpolasi antara dua data yang tersedia. Dalam artikel ini dibahas mengenai rumus dan cara menentukan interpolasi linear antara dua data.

Interpolasi linear adalah penentuan nilai antara dua data yang memiliki hubungan linear berdasarkan persamaan linear (persamaan garis lurus). Persamaan linear atau persamaan garis lurus memiliki bentuk persamaan ax + by + c = 0, dimana c adalah konstanta. Jika digambarkan pada grafik, maka semua nilai x dan y yang memenuhi persamaan linear tersebut akan membentuk garis lurus (garis linear).

Contoh sederhana kondisi yang memenuhi persamaan linear adalah sebagai berikut. Dua buah tiang berjarak 5 meter satu sama lain. Tiang pertama tingginya 3 meter dan tiang kedua tingginya 4 meter. Di atas kedua tiang tersebut dipasang kaso kayu melintang sehingga posisinya miring. Kita ingin memasang tiang ketiga diantara kedua tiang tersebut berjarak 2 meter dari tiang pertama. Dalam hal ini kita bisa menghitung tinggi tiang ketiga tersebut dengan cara interpolasi.

Contoh sederhana kasus interpolasi

 

Rumus Menentukan Interpolasi

Perhatikan gambar di bawah ini. Ruas garis PQ menghubungkan antara titik P(X1,Y1) dengan titik Q(X2,Y2) berdasarkan persamaan linear. Titik R(X,Y) adalah suatu titik di antara titik P dan Q, pada ruas garis PQ. Misalnya kita akan menentukan nilai X atau Y. Dalam hal ini kita menggunakan interpolasi linear.

Berdasarkan prinsip kesebandingan maka diperoleh persamaan interpolasi sebagai berikut.

          (X-X1)/(X2-X1) = (Y-Y1)/(Y2-Y1)

Persamaan tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut
Y = Y1 + ((X-X1)/(X2-X1)) x (Y2-Y1)
X = X1 + ((Y-Y1)/(Y2-Y1)) x (X2-X1)

Dimana
X1 adalah absis titik P
Y1 adalah ordinat titik P
X2 adalah absis titik Q
Y2 adalah ordinat titik Q
X adalah absis titik R
Y adalah ordinat titik R

Rumus interpolasi linear

 

Contoh Cara Menentukan Nilai dengan Interpolasi

Contoh Soal 1
Soal: Diketahui ruas garis AB menghubungkan titik A(1,2) dengan titik B(11,6). Titik C berada di ruas garis tersebut, berada diantara titik A dan titik B. Berapa nilai ordinat titik C jika absisnya 4.
Jawab:
X1 = 1
Y1 = 2
X2 = 11
Y2 = 6
X = 4
Y = ?
(X-X1)/(X2-X1) = (Y-Y1)/(Y2-Y1)
Y = Y1 + ((X–X1)/(X2-X1)) x (Y2–Y1)
Y = 2 + ((4-1)/(11-1)) x (6-2)
Y = 2 + (3/10) x 4
Y = 2 + 1,2
Y = 3,2
Jadi ordinat titik C adalah 3,2.

Contoh Soal 2
Soal: Dua buah tiang berjarak 5 meter satu sama lain. Tiang pertama tingginya 3 meter dan tiang kedua tingginya 4 meter. Di atas kedua tiang tersebut dipasang kaso kayu melintang sehingga posisinya miring. Kita ingin memasang tiang ketiga diantara kedua tiang tersebut berjarak 2 meter dari tiang pertama. Tentukan tinggi tiang ketiga tersebut !
Jawab:
X1 = 0
Y1 = 3
X2 = 5
Y2 = 4
X = 2
Y = ?
(X-X1)/(X2-X1) = (Y-Y1)/(Y2-Y1)
Y = Y1 + ((X–X1)/(X2-X1)) x (Y2–Y1)
Y = 3 + ((2-0)/(5-0)) x (4-3)
Y = 3 + (2/5) x 1
Y = 3 + 0,4
Y = 3,4
Jadi tinggi tiang ketiga tersebut adalah 3,4 meter.

Contoh Soal 3
Soal: Diketahui ruas garis PQ menghubungkan titik P(2,8) dengan titik Q(10,2). Titik R berada pada ruas garis tersebut, antara titik P dan titik Q. Tentukan koordinat titik R jika absisnya 6.
Jawab:
X1 = 2
Y1 = 8
X2 = 10
Y2 = 2
X = 6
Y = ?
(X-X1)/(X2-X1) = (Y-Y1)/(Y2-Y1)
Y = Y1 + ((X–X1)/(X2-X1)) x (Y2–Y1)
Y = 8 + ((6-2)/(10-2)) x (2-8)
Y = 8 + (4/8) x (-6)
Y = 8 – 3
Y = 5
Jadi koordinat titik R adalah (6,5)

Contoh Soal 4
Soal: Tentukan koordinat titik C pada gambar di bawah ini.
Contoh soal interpolasi
Jawab:
X1 = 2
Y1 = 1
X2 = 10
Y2 = 6
X = 6
Y = ?
(X-X1)/(X2-X1) = (Y-Y1)/(Y2-Y1)
Y = Y1 + ((X–X1)/(X2-X1)) x (Y2–Y1)
Y = 1 + ((6-2)/(10-2)) x (6-1)
Y = 1 + (4/8) x 5
Y = 1 + 2,5
Y = 3,5
Jadi koordinat titik C adalah (6 , 3,5)